たとえるなら
レストランの注文カウンターです。「ハンバーガーセットひとつ」と決められた形式で注文すれば、厨房の中がどうなっているかを知らなくても料理が出てきます。APIも同じで、決められた形式でお願いすれば、相手のプログラムの中身を知らなくても結果だけ受け取れます。
もう少しくわしく
API（エーピーアイ）は、プログラムがプログラムに用事を頼むための窓口です。窓口には「こういう形式でお願いすれば、こういう形式で答えを返します」というルールが決められていて、そのルールさえ守れば、相手の内部の仕組みをまったく知らなくても機能を利用できます。
身近な例はたくさんあります。天気アプリは気象データ提供元のAPIに「東京の今日の天気は？」と問い合わせ、地図アプリを組み込んだお店のサイトは地図サービスのAPIを利用し、「Googleアカウントでログイン」もGoogleのAPIとの連携で実現しています。いまのWebサービスは、たくさんのAPIの組み合わせでできていると言っても大げさではありません。
APIが窓口として公開されていることで、開発者はゼロからすべてを作らずに済みます。決済はこの会社のAPI、地図はこの会社のAPI、と組み合わせることで、少人数でも高機能なサービスを短期間で作れるようになりました。これがAPIがIT業界でこれほど重要視される理由です。
現場での使われ方
「そのデータ、APIで取れますよ」
手作業でコピーしなくても、プログラムから窓口経由で自動取得できます、という意味です。
「決済サービスとAPI連携しています」
自社のシステムと外部の決済サービスが、APIという窓口を通じて自動でやりとりしている、ということです。
よくある質問
「APIを叩く」とはどういう意味ですか？
APIに問い合わせ（リクエスト）を送ることを、現場では「叩く」と表現します。「一回叩いてみて」は「試しにAPIに問い合わせて、返ってくる結果を確認してみて」という意味です。
APIは誰でも使えますか？
提供元によります。無料で公開されているものもあれば、契約や利用登録をして発行される鍵（APIキー）が必要なもの、回数に応じて課金されるものもあります。