たとえるなら
注文を受けて料理を出すレストランの厨房です。お客さん（あなたのスマホ）から「このページ見せて」と注文が届くと、厨房（サーバー）が料理（Webページ）を作って返します。お客さんが何人来ても対応できるよう、厨房は24時間営業しています。
もう少しくわしく
サーバー（server）は英語の「serve（提供する）」から来た言葉で、何かを提供する側のコンピューターを指します。特別な形をした機械というより「役割の名前」に近く、性能の高いコンピューターに専用のソフトを入れて、Webページを配る係、メールを預かる係などの仕事をさせています。
提供するものによって呼び名が変わります。Webページを届けるのは「Webサーバー」、メールを預かって配るのは「メールサーバー」、データを保管して探し出すのは「データベースサーバー」。ひとつのシステムの裏側では、こうした複数のサーバーが分担して働いているのが普通です。
ニュースなどで聞く「サーバーが落ちる」「サーバーダウン」は、この提供係が止まってしまい、サイトやアプリが使えなくなった状態のことです。止まらないように機械を二重に用意したり（冗長化）、アクセスが集中しても耐えられるように設計したりするのが、インフラエンジニアの大事な仕事です。
現場での使われ方
「本番サーバーが落ちてる！」
利用者が実際に使っているシステムが止まっている、という緊急事態の報告。現場が一気にあわただしくなる一言です。
「そのデータはサーバー側で持ってます」
「あなたのスマホの中ではなく、提供側のコンピューターに保存されています」という意味です。
よくある質問
サーバーとクラウドの違いは何ですか？
サーバーは「提供する側のコンピューター」そのもの、クラウドは「そのサーバーを自分で持たずにインターネット越しに借りる利用形態」です。クラウドの向こう側にも、実物のサーバーがデータセンターに並んでいます。
自分のパソコンもサーバーになりますか？
なります。サーバー用のソフトを入れて他の機器からのお願いに応えるようにすれば、普通のパソコンもサーバーとして働けます。ただし本番のサービスでは、24時間止まらない安定性が必要なため専用の環境を使います。