たとえるなら
お店が常連客に渡す会員カードのようなものです。次に来店したときにカードを見せれば、お店は「前回までの注文はこちらですね」とすぐ思い出してくれます。カード自体はあなたの財布（ブラウザ）に入っています。
もう少しくわしく
Cookieは、Webサイトがブラウザに保存する小さなデータのメモです。Webの通信はもともと「一回ごとに相手を忘れる」性質があり、そのままでは、ページを移動するたびにログインし直すことになってしまいます。Cookieに「この人はログイン済み」というしるしを残しておくことで、サイトはあなたを覚えていられるのです。
買い物カートの中身が消えないのも、「次回から自動でログイン」できるのも、多くはCookieのおかげです。一方で、Cookieはあなたの行動を横断的に記録する用途にも使えるため、広告会社が「この人は最近旅行サイトを見ていた」と知って関連広告を出す、といった使われ方もされてきました。
こうしたプライバシーへの配慮から、いまは多くのサイトが「Cookieの利用に同意しますか？」と確認を出すようになっています。サイトの基本機能に必要なCookieと、広告や分析のためのCookieは分けて考えられており、後者は拒否しても普通にサイトを使えることがほとんどです。
現場での使われ方
「一度ログアウトして、Cookieを削除してから試してもらえますか」
ブラウザに残った古いメモが不具合の原因かもしれないので、まっさらな状態で再現するか確認したい、というトラブル調査の定番手順です。
よくある質問
Cookieを許可しないとどうなりますか？
ログイン状態の維持やカート機能など、一部の便利機能が働かなくなることがあります。ただし広告目的のCookieだけを拒否できるサイトも多く、その場合は通常の閲覧にほぼ影響ありません。