たとえるなら
レストランの客席側です。メニューを見て「これください」と注文するのがクライアント、注文を受けて料理を作るのがサーバー（厨房）。インターネットの世界は、ほぼこの「注文と提供」の関係でできています。
もう少しくわしく
クライアント（client）は「依頼する側」という意味で、サーバーにお願い（リクエスト）を送る側の機器やソフトを指します。あなたがスマホでWebサイトを開くとき、スマホの中のブラウザがクライアントとして「このページのデータをください」とサーバーにお願いし、返ってきたデータを画面に表示しています。
IT業界では文脈によってもうひとつの意味があります。ビジネスの場面での「クライアント」はお客さま・発注元の会社のこと。「クライアントの要望をまとめる」と言えばこちらの意味です。技術の話か商談の話かで聞き分けましょう。
この「クライアントとサーバーで役割を分ける」考え方はクライアントサーバー方式と呼ばれ、Webの基本構造になっています。画面の表示や操作はクライアント側、データの保管や重い処理はサーバー側、と分担することで、たくさんの人が同じサービスを同時に使えるのです。
現場での使われ方
「その処理はクライアント側でやってます」
サーバーではなく、利用者のブラウザやアプリの中で処理している、という意味。「フロント側」とも言います。
「明日はクライアントとの定例です」
こちらはビジネスの意味。発注元のお客さまとの定期ミーティングのことです。
よくある質問
クライアントとブラウザは同じものですか？
ブラウザはクライアントの代表例です。クライアントは「お願いする側」という役割の総称で、ブラウザのほかにスマホアプリやメールソフトなどもクライアントに含まれます。