たとえるなら
文書の「変更履歴付き共同編集」です。誰がいつどこを直したかが全部記録され、間違えても過去の版にすぐ戻れます。Gitがその記録帳で、GitHubは記録帳をチーム全員で共有する置き場所だと思ってください。
もう少しくわしく
Git（ギット）は、ソースコードの変更履歴を記録する道具です。「この日にこのファイルのこの行を、誰が、なぜ変えたか」がすべて記録され、いつでも過去の状態に戻せます。ソースコードは何百回も書き換えながら育てていくものなので、この記録があるかないかで安心感がまったく違います。変更を記録する操作を「コミット」と呼びます。
GitHub（ギットハブ）は、Gitで記録した履歴をインターネット上で共有するWebサービスです。チーム全員が同じ記録を見られるので、離れた場所にいても共同開発ができます。自分の変更を共有場所に送ることを「プッシュ」、変更をチームに見てもらい取り込んでもらう依頼を「プルリクエスト」と呼びます。この一連の流れが、いまのチーム開発の標準的な進め方です。
GitHubには世界中の開発者が公開したソースコードが集まっており、技術者の名刺代わりという側面もあります。採用の場面で「GitHubを見せてください」と言われることがあるのはこのためです。同種のサービスにGitLabなどもあります。
現場での使われ方
「その修正、もうプッシュしてもらえました？」
手元で直した変更を、チームの共有場所（GitHubなど）に送ってくれましたか、という確認です。
「コミットの履歴を見れば、いつ壊れたかわかるはず」
変更の記録をさかのぼれば、どの変更で不具合が入り込んだのか特定できる、という調査方針です。
よくある質問
GitとGitHubは何が違うのですか？
Gitは自分のパソコンで動く「履歴を記録する道具」、GitHubはその記録を「みんなで共有するためのWebサービス」です。Gitだけでも使えますが、チーム開発ではGitHubのような共有サービスと組み合わせるのが一般的です。
エンジニア以外もGitHubを使いますか？
使うことがあります。デザイナーや企画職が仕様書や文書の管理に使う例もあり、変更履歴を残しながら共同作業する道具として職種を超えて広がっています。